剖析Welch算法及功率谱估计中窗函数的选择

　　下面文章对Welch算法中窗函数的选择与使用展开详细论述。对频谱分辨率、噪声水平等方面对窗函数特性进行研究，其中矩形窗与凯撒窗频谱分辨率偏高，但信号频率附近噪声水平也偏高。矩形窗与凯撒窗适用于高信号信噪比的高精度频谱估计。汉宁窗与切比雪夫窗对频谱泄漏有良好的抑制效果，信号频率附近噪声水平并未受影响，但其分辨率相对较低。分析认为汉宁窗与切比雪夫窗适用于信噪比较低的信号频率的一般估计。

　　关键词： Welch功率谱估计,窗函数, 频谱分辨率, 频谱泄漏

　　功率譜估计技术是通过信号的相关性，对接收信号功率随频率的变化关系进行估计的一种频谱估计方法，其基本功能是实现宽带噪声中窄带信号的检测。功率谱估计可以实现对信号的分析与识别。周期图法利用相关函数与傅里叶变换的卷积关系求功率谱，由于周期图法不满足一致性估计条件，分辨率与方差难以同时取得较高的参数。Welch算法是在周期图法基础上进行修正的一种比较简单，便于计算的方法。通过对数据进行分段和加窗，可以在保证分辨率不受影响的前提下尽量减小谱估计的方差。在算法应用中，窗函数的选择将直接影响谱估计的结果。

　　1 周期图及Welch算法

　　1.1 周期图法

　　周期图法是将观测得到的有限个样本数据x(n)={x(0)，x(1)，…，x(N-1)}视为能量有限信号，利用FFT直接计算出其傅里叶变换，然后取其复制的平方并除以数据长度N，作为功率谱估计：

　　⑴

　　其中X(k)为有限长序列x(n)(n=0，1，……，N-1)的傅里叶变换。

　　通过周期图法对信号进行功率谱估计的流程如图1[1]。

　　周期图法的优点是不需要进行自相关运算，算法较为简单。但周期图法最大的缺点就是其估计的方差不会随着数据长度的增加趋近于零，即当信号长度一定时，无法在保证较高谱分辨率的情况下，尽量减小方差，因此周期图法不是一致估计[2]。

　　1.2 Welch算法

　　Welch算法是对周期图法的一种改进，其具体流程为首先对信号进行分段加窗处理，求出各段功率谱后求平均功率谱[3]。

　　由概率统计理论可以证明，将长度为N的数据分成K段，每段长度M=N/K。若各段数据相互独立，则估计方差为原方差的1/K，可以实现一致性估计。但增加K时必然导致M减小，M减小直接导致频谱分辨率下降。因此，在实际应用中，需兼顾方差与分辨率选取K和M的值。

　　为了减小由于数据分段引起的分辨率降低的问题，可以在截取数据时允许各段数据有部分重叠。同时，针对不同类型的信号，选取合适的窗函数也将直接影响结果的准确性。因此，对窗函数特性的研究显得很重要。

　　2 Welch功率谱估计的仿真实现与分析

　　2.1 Welch功率谱估计仿真流程

　　为了实现对Welch功率谱估计法的性能分析，选取Matlab作为仿真工具，编程实现的流程如下[4-5]：

　　⑴ 产生待探测信号x(t)，设定该信号的频率成分、信噪比;

　　⑵ 按要求对x(t)采样(需满足采样定理)与截取，得到有限长观测序列x[n];

　　⑶ 设定Welch功率谱估计相关参数，包括FFT点数、数据重叠长度等;

　　⑷ 对各段数据进行加窗处理;

　　⑸ 对各段数据进行功率谱计算，再将各段结果进行平均，得到估计的信号功率谱。

　　2.2 Welch功率谱估计中窗函数的选择分析

　　本次仿真实验中，产生信号f(t)=sin(2π×300t)+sin(2π×500t)作为输入信号。信号中的噪声为加性高斯白噪声，信噪比为10dB，采样频率为3000Hz。信号采样点数为3000，数据分段不重叠，FFT点数为512，选取窗函数长度为511的矩形窗(Rectangular)、切比雪夫窗(Chebyshev)、汉宁窗(Hanning)、凯瑟窗(Kaiser)分别对信号进行Welch功率谱估计。

　　在其他条件一致的情况下，Rectangular窗的频谱分辨率最高，主瓣宽度最窄，频谱估计误差最小。但是Rectangular窗对信号的突然截断会造成信号频谱泄露，使信号频率附近噪声幅值大幅度提高，噪声整体水平较高。本次实验中信号频率附近噪声功率平均提高6dB。因此，当信号信噪比较低时，Rectangular窗无法有效准确识别出信号频率。Kaiser窗的频谱分辨率较高，明显高于Chebyshev窗与Hanning窗。Kaiser窗在信号频率附近噪声水平较高，本次实验中信号频率附近噪声功率平均提高3.6dB。因此Kaiser窗适合对信号分辨率要求较高并且信号信噪比较高的情况。

　　Chebyshev窗与Hanning窗的旁瓣衰减较大，因此噪声水平较低且平稳，本次实验中，信号频率附近的噪声功率无明显提高。其中Hanning窗的噪声水平相比Chebyshev窗要更低些。但是Chebyshev窗与Hanning窗的分辨率相比，Rectangular窗和Kaiser窗有所下降，因此更适用于对信号分辨率要求不高的微弱信号频谱估计的情况。在选取窗函数对信号频谱进行估计时，需对信号特性进行充分分析，结合频谱估计需求，进行窗函数的选取。

　　2.3 短信号的Welch功率谱分析

　　在实际情况中，有些信号仅存在较短时间，有些信号变化速率较快。为了精准测量这些信号，只能截取较短时间的信号进行频谱分析。在对短信号的频谱估计中，Welch频谱估计法具有一定的局限性。依旧选取频率为300Hz和500Hz的正弦信号f(t)=sin(2π×300t)+sin(2π×500t)作为输入信号。信号中的噪声为加性高斯白噪声，信噪比为10dB，采样频率为3000Hz。短信号采样点数为100，数据分段不重叠，FFT点数为512，选取窗函数长度为511的矩形窗(Rectangular)、切比雪夫窗(Chebyshev)、汉宁窗(Hanning)、凯瑟窗(Kaiser)分别对信号进行Welch功率谱估计，得到的结果如图4所示。

　　由于短信号频谱噪声方差较大，故不针对短信号的频谱进行定量计算。由图3与图4对比可知，对短數据进行频谱估计得到的信号谱峰宽度增加，频谱分辨率明显下降。此时，采用Chebyshev窗和Hanning窗得到频谱的信号谱峰较宽，无法获得信号频率。采用Rectangular窗与Kaiser窗得到的信号谱峰也有明显加宽，同时噪声处频谱震荡较为剧烈。因此，当信号较微弱时，可能被噪声淹没导致探测失败。

　　3 结束语

　　本文通过Matlab对四种窗函数应用于Welch功率谱估计的结果特性进行研究。结果表明使用矩形窗与凯撒窗得到的信号频谱具有较高的分辨率，比汉宁窗和切比雪夫窗高出一倍左右。但频谱泄漏造成的信号频率附近噪声水平整体较高，在矩形窗条件下，噪声功率提高为6dB，凯撒窗条件下为3.6dB。因此，矩形窗与凯撒窗适用于信噪比较高信号的高精度频谱估计。

　　使用汉宁窗与切比雪夫窗进行Welch频谱估计，信号频率附近噪声水平未受影响，但是得到的信号频谱分辨率较低，适用于微弱信号频率的粗略估计。未经处理的短信号直接进行Welch功率谱估计，得到的频谱分辨率较低，同时信号也容易被噪声干扰，导致探测失败。微弱信号的功率谱估计方法仍需进一步展开研究。

　　参考文献(References)：

　　[1] 范瑜，邬正义.功率谱估计的Welch方法中的窗函数研究[J].常熟理工学院学报，2000.4：36-39

　　[2] JoyceVandeVegts，Vegts.数字信号处理基础[M].电子工业出版社，2003.

　　[3] 张峰，石现峰，张学智.Welch功率谱估计算法仿真及分析[J].西安工业大学学报，2009.29(4)：353-356

　　[4] 王福杰，潘宏侠.MATLAB中几种功率谱估计函数的比较分析与选择[J].电子产品可靠性与环境试验，2009.27(6)：28-31

　　[5] 魏鑫，张平.周期图法功率谱估计中的窗函数分析[J].现代电子技术，2005.28(3)：14-15

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　　创刊于1981年，由中国信息产业部主管,南京电子器件研究所主办,报道国内光电行业技术动态,近年来先后被《中国期刊网》、《中国学术期刊》(光盘版)全文收录并被美国《化学文摘》(CA)作为引录用刊,更获得了信息产业部2000年期编辑规范化奖和2002年江苏省优秀期刊称号,被评为一级期刊。