基于复杂网络理论的互联电网Braess悖论现象研究

　　摘要为了探究互联电力网络中的Braess悖论现象，本文采用二阶类Kuramoto相振子模型对电网进行动力学建模，将两个子网通过大度节点相连构建互联电网，当两个子网间有功率传输时，分别在两个子网内部新增传输线路探究互联电网发生Braess悖论现象的概率并分析其原因。研究发现，当互联电网中两个子网间的功率传输达到某一临界值时，受电子网的同步能力远优于供电子网的同步能力，供电子网新增传输线路引起互联电网发生Braess悖论的概率远高于受电子网新增传输线路引发的Braess悖论概率。文中通过定义子网序参数对上述现象产生的原因进行了深入分析。本文的研究对互联电网的拓扑优化具有重要指导意义。

　　关键词复杂网络;互联电网;同步;Braess悖论

　　引言Braess悖论[16]的概念是德国数学家DietrichBraess[1]于1968年在一篇关于交通网络规划问题的文献中首次提出。一般而言，在相对拥挤的城市道路中，通过扩展路网、新增道路能够疏解交通，提高通行效率。然而，Braess的研究指出，在交通网络中增加路径可能会出现与预期效果相反的现象，新网络的通行效率不升反降，到目的地所需要的通行时间更长。近年来，许多专家学者研究发现电网中同样存在与交通网相类似的Braess悖论现象，即新增一条传输线路，不仅没有提高电力网络的同步性能，反而使得电网同步性能恶化。

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　　随着我国经济快速发展，对电力资源的需求愈来愈大，电力系统的结构也日趋复杂，伴随而来的能源分布与区域经济不匹配的矛盾也日趋显现。国家在本世纪初启动了“西电东送”工程[79]，有效缓解了西部地区电力资源富裕而需求相对较少，东部沿海地区电力资源短缺而需求相对较大这一矛盾。随着电网互联供能的优势愈发明显，它已成为改善电力结构不合理，优化资源配置的重要手段。在此背景下，未来对电网进行扩建、优化以及改造时必然会面临电网的Braess悖论现象的发生，因此，对互联电网中的Braess悖论现象进行深入研究显得至关重要。

　　Witthaut和Timme[1011]研究发现，Braess悖论现象是在不同类型供电网络中出现的普遍特征，在已经存在并稳定运行的电网中增加新的连接线并不总是促进同步，增加某些连接线实际上降低了电网的同步稳定性，并带来巨大的成本。Coletta和Jacquod等[12]研究了在耦合振子网络中加入新的耦合对同步稳定性的影响，研究表明增加新的耦合可以提高或降低网络稳定性，Braess悖论可能发生在任何复杂的耦合系统中，其同步状态可能会被额外的耦合削弱甚至破坏。

　　Baillieul和Zhang等[13]基于基尔霍夫定律发现配电网中也会出现类似于交通网的Braess悖论现象。Tchawou等[14]在交流电网模型中研究二次控制的动态后果，证明了无论拓扑结构如何，运用二次控制都可以提高电网的稳定性，防止网络发生Braess悖论现象。Wang等[15]研究了拓扑结构对Braess悖论的影响，并指出可能导致发生Braess悖论现象的传输线路存在于特殊的子结构中，对电网拓扑结构的设计和扩展时避开这些子结构就可以有效避免系统中的Braess悖论现象的发生。

　　Fazlyab等[16]提出了一种优化框架用来设计不同uramoto振荡器组成的网络的固有频率和耦合权重，将可以同时捕获网络稳态性能和稳定性的相位内聚性作为设计约束，并证明了该框架能够识别出引起Braess悖论的链路。以上研究大多是对单一电网的研究，没有考虑互联电网的特性，对具有电力传输的互联电网中Braess悖论现象的研究还很少见。本文基于复杂网络理论[1721]，采用二阶类Kuramoto相振子模型[22]，通过将两个子网用传输线路连接构建互联电网。当两个子网间有功率传输时，分别在两个子网内新增传输线路探究互联电网中的供电和受电子网发生的Braess悖论现象并分析其原因。

　　发生Braess悖论现象的判别方法一般而言，在电网中新增一条传输线路可以促进网络的同步，但是电网中存在与人们直觉相反的Braess悖论现象，即新增一条传输线路会使得电网的同步性能恶化。为了进一步探究电网中Braess悖论现象的规律，准确判别电网在新增某条传输线路时是否发生Braess悖论现象显得尤为重要。

　　由2.2、2.3小节可知，当电网的振子间耦合强度取到临界同步耦合强度时，电网在经过一定的演化时间达到稳态时处于同步状态，系统中所有振子以相同的频率稳定运行，此时系统的稳态频偏等于。此时在系统中新增某条传输线路，若网络同步能力得到改善，系统稳态频偏必为零。

　　若新增传输线路引起同步性能恶化，即系统发生Braess悖论，系统稳态频偏必不为零。因此，将网络的耦合强度设置成临界同步耦合强度，在系统中新增某条传输线路后检测系统稳态频偏是否为，可以判断电网中是否发生Braess悖论现象。当互联电网由两个不同子网构建时，在子网内部新增传输线路时会发生类似现象，即当传输功率达到一定值时，供电子网新增传输线路互联电网发生Braess悖论现象的概率高于受电子网新增传输线路互联电网发生Braess悖论现象的概率，受电子网新增传输线路发生Braess悖论的概率相较于原单个网络发生Braess悖论的概率有较大降低。由于=时，互联电网中两个子网间没有功率传输，没有体现互联电网的功能和特性，故本文未做讨论，在作图时采用绿色虚线连接。

　　我们又在多个不同结构的IEEE测试系统中进行了实验，均发现无论互联电网是由两个相同的子网构成，还是由不同的子网构成，在子网内部新增传输线路时，当网间传输功率大于某一门限值时，与原子网发生Braess悖论现象的概率相比，供电子网新增传输线路发生Braess悖论现象的概率非常高，而受电子网新增传输线路发生Braess悖论现象的概率接近零。我们接着又将子网通过两条传输线路连接进行了类似的实验，仍然发现当子网间的传输功率大于某一临界值时，与原单个网络发生Braess悖论现象的概率相比，供电子网新增传输线路发生Braess悖论现象的概率非常高，而受电子网新增传输线路发生Braess悖论现象的概率接近零，只是此时传输功率的临界值有所提高。

　　为进一步探究在互联电网中Braess悖论现象产生的原因，本节将从互联电网同步能力以及互联电网中供电、受电子网的局部同步能力角度进行分析，最后在大网络上做进一步的验证。首先考虑供电子网，相较单一IEEE14系统，在互联电网供电子网中有更多新增传输线路会引起供电子网同步能力的恶化。

　　比如传输线路(1,9)、(4,6)、(5,12)，在单个IEEE14系统中分别新增这些传输线路并不会引发Braess悖论现象，当在供电子网中新增上述传输线路时，互联电网发生了Braess悖论现象。通过对供电子网和受电子网稳态序参数的分析，我们发现新增上述传输线路时，供电和受电子网的同步能力都有所恶化。

　　虽然受电网络临界同步耦合强度变化更明显，但由于互联电网的临界同步耦合强度等于供电子网的临界同步耦合强度，所以是因为新增这些传输线路引起供电子网同步能力的恶化，才导致互联电网发生Braess悖论现象。其次考虑受电子网，由于互联电网中受电子网发生Braess悖论现象的概率很低，这说明有些会引起单个IEEE14系统同步能力恶化的传输线路，在互联电网中不会引起网络整体同步能力的恶化。比如我们新增传输线路(15,25)、(16,24)、(17,23)，这些会引起单一IEEE14系统同步能力恶化的传输线路，仿真发现并不会引起互联电网同步能力的恶化。

　　对供电子网和受电子网稳态序参数的分析表明，在受电子网中分别新增这些传输线路确实引起了受电子网同步能力的恶化。但同时却引起了供电子网同步能力的提高。从临界同步耦合强度看，互联电网的临界同步耦合强度由供电子网决定，因此新增这些传输线路并不会引发互联电网同步能力的恶化，相反，互联电网的同步能力有所提升，电网不会发生Braess悖论现象。

　　本小节通过将两个IEEE57标准测试网络作为子网构建互联电网对本文结论做进一步的验证。将两个IEEE57系统通过最大度节点相连，当两子网之间有功率传输时，在供、受电子网内部随机新增传输线路进行实验，共实验100次，保证每次新增传输线路不同，为了便于比较，供、受电子网随机新增传输线路的节点编号一致。

　　本文采用二阶类Kuramoto相振子建立电网的动力学模型，研究互联电网中的Braess悖论现象。新增传输线路后，采用系统稳态频偏是否等于来判别电网是否发生Braess悖论现象。研究表明，当互联电网中的两个子网间功率传输达到一个临界值时，供电子网和受电子网的同步能力不一致，受电子网的同步能力远远好于供电子网的同步能力，供电子网发生Braess悖论现象的概率较高，受电子网发生Braess悖论现象的概率较低。

　　由于互联电网的整体临界同步耦合强度由供电网络决定，受电网络临界同步耦合强度较小，因此以前在单个网络中发生Braess悖论现象的传输线路即便增大了受电网络的临界同步耦合强度，但由于仍小于供电网络临界同步耦合强度，所以不会发生Braess悖论现象，但供电网络则不同，由于相当于接了一个大负载，其达到局部同步困难，因此新增传输线路发生Braess悖论现象的概率高。综上所述，本文的研究在当前电网互联特性显著，互联优势愈发明显的背景下，对今后电网扩建，改造以及优化有一定的指导意义。

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　　作者：张少泽，邹艳丽，谭秫毅，李浩乾，刘欣妍