基于加权三次曲面拟合的GPS坐标转换

基于加权三次曲面拟合的GPS坐标转换
章思亮

摘  要：GPS系统的建立为测绘工作提供了一个崭新的定位测量手段,由于GPS定位技术具有高精度、速度快、成本底的显著优点,因而在控制测量及城市工程网的建立、更新与改造中得到了广泛的应用。本文主要阐述了GPS定位系统所采用坐标系之间的转换，并将加权三次曲面拟合法应用到坐标转换中来处理转换残差，并以靖安县城市控制网修订为实例将该算法与不加权的三次曲面拟合法和徕卡GPS自带后处理软件处理结果相比较，证明了该算法的有效性与实用性。
关键词：GPS坐标系,坐标转换,残差处理,加权三次曲面拟合
一、引言
随着GPS技术的应用和普及，越来越多的工程需要利用GPS卫星定位系统来进行测量。目前GPS测量常用的坐标系统有WGS-84坐标系、1954年北京坐标系、1980西安坐标系和地方独立坐标系。很多情况下，为了便于统一利用，需要将一套坐标变换为另外一套坐标，比如将WGS-84坐标变换为当地独立坐标，旧平面控制坐标改造为新坐标。常用的坐标系转换方法有七参数经典3D转换法、一步法、插值方法和分片平滑插值方法等。但是，当控制网中存在局部系统性误差时，两套坐标之间并不存在确切的几何关系。采用以上的相似变换必然存在模型误差，致使坐标变换残差(误差 )增大。本文采用加权三次曲面拟合法处理坐标变换残差，取得了明显效果，并通过对靖安县城市控制网的修订工程实例加以验证。
二、坐标变换残差来源分析
两套坐标进行变换，影响变换精度的主要因素有起算坐标精度、模型精度、点位分布等。这里重点讨论模型精度对坐标变换残差的影响,因此假设坐标精度和点位分布对变换残差的影响为零。某点旧坐标到新坐标的变换过程为：
                                                   （2.1）
式中，等号右边第二项表示变换后坐标轴方向的残差；为坐标变换模型函数。
对式(2.1)用误差传播定律得到：
                                                 （2.2）
依照之前的假设，式(2.2)等号右边第一项为零，则有：
                                                         （2.3）
说明残差与模型误差数值上有对应关系，模型误差越大则残差越大。但该对应关系一般是非线性关系，具体决定于模型函数。
3、加权三次曲面拟合法数学模型、权的确定及精度评定
3.1加权三次曲面拟合法数学模型
若建立两套坐标系统时控制网存在局部系统误差，该误差将引起控制网扭曲。当直接采用相似变换进行坐标转换时，局部系统误差将综合到相似变换模型中，必然使变换残差增大；另外,从第一点的推导中已经知道，模型误差的大小直接影响变换残差。因此，采用拟合模型对变换残差进行回归分析是可行的。
假设某点坐标经过变换后，变换残差分别为Δx,Δy,Δz,其值为：
                                                         （3.1）
其中,等号右边第二项由旧坐标通过相似变换参数求得。对某点的变换残差进行三次曲面拟合逼近有：
       （3.2）
如果有 n个点,则上式可改写为法方程形式:
                                                                   (3.3)
其中，，；
，
根据最小二乘原理可得拟合系数向量β的估计向量:
                                                           （3.4）
3.2 权的确定
最小二乘求解时定权函数为：
                                                             （3.5）
其中表示点与点之间的距离。表示参与解算的点号；e某小值常数，防止分母等于0；k为某正整数，为便于计算一般取1～3[1]。
3.3 精度评定
对参数向量进行最小二乘估计后 ,则单位权中误差为：
                                                               （3.6）
其中，n为参与计算的点数。
4、实例验算
4.1 工程算例介绍
本文中宜春市靖安县城市控制网更新为实验实例。靖安县原城市控制网是江西地质局在2004年采用采用静态 GPS量测基线并经基线处理和联合平差，得到的坐标(自由网平差平面点位误差为毫米级、三维点位误差为厘米级)（部分控制点数据如表4-1）。由于这些年城市的发展和一些人为的因素，有些地方的控制点遭到严重破坏，为了适应建设的需求，在最近我们在原来控制点的基础上进行了修补加密工作。本次施测采用GPS动态模式放样进行的，坐标精度较原来低。为了沿用原坐标，我们通过坐标转换将新的坐标符合到原坐标。实测的WGS-84坐标（如表4-2），采用一步法进行坐标转换，得到横坐标最大残差为3.5cm，纵坐标最大残差为2.7cm。而城市精确控制测量要满足固定误差a≤1cm[7]，因此有必要对转换残差进一步处理。
表4-1靖安县原城市控制网部分控制点数据
点标识 东坐标（m） 北坐标（m）
1 632619.826 3195738.81
2 631621.898 3195887.659
3 631874.359 3195940.497
4 632168.621 3196404.553
5 631350.524 3195830.863
6 631087.948 3195775.909
7 631064.379 3196103.515
8 630705.049 3195695.772
9 631389.229 3195292.186
表4-2靖安县城市控制网修订部分控制点WGS-84坐标数据
点标识 经度（度o分’秒’’） 纬度（度o分’秒’’）
1 28°52'00.19748" N 115°21'46.68872" E
2 28°52'38.77768" N 115°21'46.00613" E
3 28°52'19.35065" N 115°20'58.96760" E
4 28°52'35.93612" N 115°21'19.36112" E
5 28°52'13.70586" N 115°20'24.23748" E
6 28°52'38.43685" N 115°21'46.83580" E
7 28°52'37.00274" N 115°21'19.92853" E
8 28°52'18.35722" N 115°20'59.17658" E
9 28°52'14.24081" N 115°20'39.69497" E
表4-3靖安县城市控制网修订部分控制点一步法转换后的BJ-54坐标数据
点标识 东坐标（m） 北坐标（m）
1 632619.827 3195738.811
2 631621.874 3195887.639
3 631874.352 3195940.508
4 632168.656 3196404.528
5 631350.523 3195830.89
6 631087.945 3195775.904
7 631064.393 3196103.507
8 630705.025 3195695.751
9 631389.215 3195292.197
4.2坐标变换残差拟合处理
根据第3节的介绍编制了MATLAB拟合分析程序对本算例进实验。分别采用加权三次曲面拟合、三次曲面拟合和徕卡自带后处理软件一步法转换对本文数据进行处理，结果如表4-3。
表4-3 实验处理结果
加权三次曲面拟
合后残差（m） 三次曲面拟合
后残差（m） 徕卡自带后处理软件
一步法转换残差(m)
点标识 x1 y1 x2 y2 x3 y3
1 1.149e-6 3.9283e-5 1.3883e-4 -1.5833e-4 -0.001 -0.001
2 1.3169e-5 4.3032e-5 -2.2241e-4 4.8335e-5 0.024 0.02
3 1.1014e-5 4.1442e-5 -1.6168e-4 6.7974e-6 0.007 -0.011
4 1.1821e-5 3.7232e-5 -1.0753e-4 -4.4557e-5 -0.035 0.025
5 1.5356e-5 4.4953e-5 -2.2696e-4 5.5126e-5 0.001 -0.027
6 1.7348e-5 4.7022e-5 -1.4856e-4 8.2873e-5 0.003 0.005
7 2.0312e-5 4.524e-5 -9.6712e-5 -3.7164e-5 -0.014 0.008
8 2.0045e-5 5.0407e-5 1.5889e-4 -1.8723e-4 0.024 0.021
9 1.0927e-5 4.6375e-5 -1.9757e-4 5.4209e-5 0.014 -0.011
残差中误差（m） 1.4554e-5 4.4056e-5 1.6788e-004 8.9394e-5 0.01773 0.01676
    从上表可以直观的看出经过对转换数据进行加权三次曲面拟合和三次曲面拟合的残差处理结果可以看出，转换坐标的精度有大幅度提高，满足了城市精确控制测量的要求。

(a)加权与不加权三次曲面拟合x方向上残差          (b)加权与不加权三次曲面拟合y方向上残差
图4-1 两种方法的残差结果处理图

图4-2 有粗差参与计算时两种方法的残差结果处理图
虽然三次曲面拟合与加权三次曲面拟合两种方法处理的残差结果精度上都可以到达城市精确控制测量需要，但加权三次曲面拟合法精度更高，且加权以后结果精度变化幅度较小（图4-1中蓝色*线所示），不加权的处理结果精度变化幅度较大（图4-1中红色-线所示），而粗差在参与残差处理时也会出现结果曲线的大幅度震动，使拟合模型扭曲（图4-2所示）。两者相比较，加权三次曲面拟合能很容易探测出粗差，这样在计算时我们就能及时地将粗差点隔离，保证处理结果的精度。
5 结论
通过工程算例,发现加权三次曲面拟合回归对于坐标相似变换残差具有良好效果,不但解决了精度问题，还克服三次曲面拟合容易受到粗差影响的困难，对旧网坐标改造、联合平差前坐标系统一等具有重要使用价值。对于本算例,由于加权三次曲面拟合弥补了控制网中的局域性系统误差,使结果符合城市精确控制测量要求。但是,实际应用时采用何种拟合方法需要结合工程的精度要求全面考虑。

参考文献
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