控制点误差对点位放样精度的影响

卢仿雄

摘  要：点位放样是工程测量中一项首要的工作，放样点误差大小直接影响到工程的施工质量，尤其随着大型、精密工程建设的不断增加，放样点的精度问题已越来越受到重视和注意。本文主要阐述控制点误差对点位放样精度的影响。
关键词：放样；点位精度；误差来源；因素分析
1引言
工程测量中，一般是根据设计部门提供的建筑物特征点(待放点)的设计坐标和控制点的已知坐标反算放样元素,再由控制点及放样元素将待放点测设至地面。根据控制点测设放样点的误差来源有：一是测设放样点的观测误差；二是原始数据（控制点坐标）误差。以往由于观测误差较大，而控制点坐标误差相对来说却很小，在放样点位误差中所占比例亦很小，计算复杂以及控制点坐标得之不易，故常将省略不计。在大型精密工程测量中，放样点的精度要求越来越高，有的要求达到毫米甚至亚毫米级，因而观测误差越来越小，这就不能不考虑起始数据误差。在普通工程测量中，控制网边长与交会定点边长均用光电测距仪测量，边长观测精度属同一个等级。目前工程控制网以测边为主的边角网和测边网居多，这类控制网的一个特点是多余观测较少 ，平差后点位精度提高不大，这就有必要考虑控制点坐标误差的影响。
2 起始数据误差对放样点位精度和相对点位精度影响的一般公式
因放样点的坐标是控制点坐标和放样元素的函数，利用有误差的控制点坐标和放样点设计坐标计算而得的放样元素，同样受起始数据误差的影响，以控制点A、B放样点P为例，推导起始数据误差对放样点位精度和相对点位精度影响的一般公式。计算某放样元素（距离。方向或角度）的函数式为
                                       （2-1）
式中k=1,2,… …,n为放样元素的个数
那么由于控制点坐标变化引起放样元素的变化为
                             （2-2）                写成矩阵形式                                                     （2-3）
  式中：


                                                                
                                                                           
                                                                  （2-4）
                    
                   
为控制点坐标的方差-协方差阵，由控制点所在的控制网的平差中获得。放样元素的误差方程为
                                                         (2-8)
式中X为放样点坐标未知数列向量，A为误差方程式系数阵，即A=     ，自由项等于不考虑起始数据误差时误差方程式常数项与     之和，即
                                                       （2-9）
因和不相关，按方差-协方差传播律得
                                    （2-10）   
（2-8）式的最小二乘解向量
                                             (2-11)
在桥梁墩（台）施工放样中，墩（台）距误差与墩（点）位误差是衡量精度同等重要的指标。当仅以必要放样元素（R=1，2）放样时，控制点坐标误差对两放样点P1和P2相对精度的影响：
因（2-8）式中V=0，则
                                    (2-12)
                  
                  
为观测误差对放样点相对精度的影响；为控制点坐标误差对相对精度的影响。当与从两组控制点分别放样时，只需将矩阵换成四个控制点的方差-协方差矩阵F相应拉长，仍可应用上述公式计算相对精度。
3 几种常用放样方法的放样点精度及相对精度
3.1 极坐标法
如图2-1，A，B为控制点，、为放样点、和
、分别为放样点、的距离和角度。、分
别为、的方位角。误差方程：
                                  (2-19)               图 2-1
                                                           
        
             (2-20)     
(2-21)                                                                   
  若忽略控制点坐标误差间的相关性，按（2-15）式计算控制点误差对放样点误差的影响：

                                                     (2-22)当时，           （2-23）
当时，            （2-24）
    不考虑控制点坐标误差间的相关性，按（2-18）式计算控制点坐标误差对放样点、相对精度的影响。

         


    (2-25)
在桥梁工程侧量中，常取桥轴线为X轴（图2-1），若何为两桥墩中心，则为墩距，
因有   
故                                                                （2-26） 
（2-26）式证明采用极坐标法放样桥墩时，其墩距中误差与控制点坐标误差无关。极坐标法放样的误差椭圆
                                           （2-27）
          
                                        (2-28)
                (2-29)
(2-29)式即为极坐标放养点位精度计算公式。
  求点位误差椭圆参数公式为
                             （2-30）
将（2-28）代入（2-30）得
             
                                                                   （2-31）
             
                                                                (2-32)
             
                                                                   (2-33)
(2-31)、（2-32）、（2-33）式表明：极坐标法放样点位误差椭圆的一极轴与S方向重合；另一极轴与S方向垂直。极值为和，当>时，E轴与S方向重合；当<时，E轴与S方向垂直。
3.2 测边交会法
                              
总结:在工程测量中，点位放样是一项首要、基本的工作，放样点精度（误差大小）直接影响到工程的施工质量，提高点位放样精度，最后对工程建筑物的质量的提高有很大的意义和帮助，尤其随着大型、精密工程建设的不断增加，放样点位的精度问题已越来越受到重视和注意。本论文对影响点位放样结果的因素进行了详细的探讨。旨在掌握放样点位的误差理论，为指导实际工作提供理论依据，使点位放样结果达到最优化。
工程测量中,一般是根据设计部门提供的建筑物特征点(待放样点)的设计坐标和控制点的已知坐标反算放样元素，再由控制点及放样元素将待放点测设至地面。因此放样点的误差除受测设放样元素或测量观测元素的误差影响外 ,还要受到控制点坐标误差的影响。因此影响放样点平面位置的误差主要包括控制点测量引起的误差和放样过程中所产生的误差，要保证放样的精度,可以分别考虑它们应满足的精度要求。
参考文献:
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[2] 季斌德，邵自修.工程测量.北京:测绘出版社,1988
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[4] 武汉测绘科技大学《测量学》编写组编著.测量学.北京:测绘出版社，2000.3