数学教学例文参考之微分从属和几何函数理论

　　摘要：在最近的学术研究中发现，代数几何与函数理论在构建非线性可积系统中存在着一定的内在联系，为此人们对于几何函数理论的兴趣也不断的增强，众所周知的弦理论的雏形就是通过几何函数中的相关理论进行计算而获得的.近年来，用谱分析处理线性和非线性边界值的问题也得到了较大的进展，因此其在几何函数理论的研究方面，尤其是在微分方程的研究方面起到了重要的作用.几何函数理论是一门历史久远的学科，在现代数学、物理等科学中都有着较为广泛的应用，对微分从属与几何函数的相关理论进行研究，能够更加有利于几何函数理论的应用.

　　关键词：数学教学例文参考,函数,几何,从属,微分

　　一、几何函数理论综述

　　复变函数理论是数学理论中的一个重要分支，有着较为悠久的历史，并且在各种学术研究工作中发挥了重要的作用.在19世纪初期，柯西(Cauchy)、维尔斯特拉斯(Weierstrass)、黎曼(Riemann)等人在函数领域内的研究工作为复变函数理论的发展提供了丰富的理论基础，也从另一个侧面对复变函数中的几何性质进行了充分的体现，并且指出，在针对共形不变量进行研究时，对于复杂区域的共形映照的性质进行分析和比较，只要对其中简单的区域进行研究，就能够获得准确的结果.这一研究结果也促进了人们对几何函数的研究，促成了几何函数理论的产生.几何函数理论是经典分析与现代分析理论中的一个重要研究方向，有着丰富的研究成果，并且随着理论的发展研究工作不断的深入.几何函数作为复分析中的一个重要领域，当前在国内和国际上都获得了一定的重视，各国的学者和机构也不断地加强对该领域的研究.在国内研究机构主要有中国科技大学、华南师范大学、西北大学等.在国际上，日本、加拿大、美国等国也有着相当大的一批学者从事该领域研究工作.国内在该领域最早的工作当属陈建功、龚升和夏道行等人所做的开创性的工作.当然，我们也应当清楚地认识到，我国国内针对几何函数理论的研究还需不断加强，以期获得更多国际先进水平的成果，为我国数学领域理论研究工作的进展提供更为丰富的经验.

　　二、微分从属与几何函数

　　微分从属，是一种与微分不等式和微分方程联系紧密的从属关系.在上世纪70年末80年代初，是微分从属理论研究的关键时期，在这一时期微分从属理论得到了广泛的应用，尤其是在几何函数领域中，成为了几何函数研究工作的一种重要工具，同时其作为一种工具，也为几何函数的研究提供了更为方便的研究方法.众所周知，在函数理论的研究领域中，微分不等式有着十分重要的地位，很多重要的理论与定理的形成，都与微分理论有着密切的关系.大多情况下，在针对几何函数中的某些特征进行确定时，都需要依靠微分不等式来进行，通过最简单的例子则可以看出其重要性.比如，通过f′(x)>0一式，能够得到f′(x)所呈现出的是递增的性质.又如函数f(0)=1，可以通过f′(x)+f(x)≤1得到f(x)≤1的结论.在这个过程中需要注意的是，与几何函数不同的复变函数中，也存在着一些相似的理论，但是二者是存在一定差别的.比如在Noshiro?Warschawski定理中，存在着这样一种算法，函数f(z)在单位圆盘U内解析且R(f′(z))>0，则f(z)在圆盘U内单叶.从中也可以看出，在函数理论中的一些关于微分不等式的理论并不能完全适用于复变函数，因此，如何更加深入地研究复变函数理论中的微分不等式的性质也成为了当前学者们研究的重点问题.其中较为著名的则是Miller和Mocanu，他们将研究的重点放在微分不等式的性质研究方面，并且从属方法应用到复变函数中，从而为微分从属理论以及几何函数的研究工作奠定了更为丰富的理论基础.最后，接组允许函数，获得了如下的蕴涵关系公式：

　　近年来，随着微分从属理论研究工作的不断开展，也产生了各种不同的理论研究结果，其也逐渐成为了现代几何函数理论研究工作中必不可少的一项依据.比如Miller通过对微分从属理论的研究工作，从中获得了关于超几何函数的单叶性问题的相关理论.同时，对于微分从属与超几何函数的从属关系也进行了大量的研究，把微分从属以及其与超几何函数的相关理论进行了推广，从而使微分研究领域得到了较大的扩展.在一些几何函数中，对于某些非线性积分算子的从属问题也进行了大量的研究，对于几何函数与微分从属以及超从属等问题也进行了研究，从而获得了sandwich型定理，促进了几何函数研究工作的持续进展.

　　结束语

　　微分从属是现代几何函数研究领域中一个不可或缺的研究领域，其具有较为丰富的内涵.本文笔者主要对微分从属以及函数理论的相关问题进行了简单的分析，并着重探讨了微分从属与几何函数的相关问题，希望能为几何函数的研究工作作出贡献.

　　【参考文献】

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　　[2]周培桂.Gauss超几何函数及相关特殊函数的性质[D].浙江理工大学：基础数学,2010.

　　[3]刘金林.微分从属与几何函数理论中若干问题的研究[D].扬州大学：基础数学,2010.

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　　[5]王敏.几何函数理论中的一些新子类[D].扬州大学：应用数学,2008.