高等数学视角下的中学集合研究

　　摘要：随着课程标准的不断改革、教材内容的不断更新以及教育实践的不断发展,中学数学教材增添了许多高等数学的内容,与此同时致使中学数学教师认识到,高等数学于中学数学的密切联系。本文在前人研究的基础上，结合自己的学习和教学实践，阐明了从高等数学的视角研究中学数学中集合内容的必要性。并论述了集合思想在中学的渗透，为中学教师的教学提供一些建议。

　　关键词：高等数学，中学数学，集合，运算

　　1引言

　　随着课程标准的不断改革、教材内容的不断更新以及教育实践的不断发展，中学数学教材增添了许多高等数学的内容，与此同时致使中学数学教师认识到，高等数学于中学数学的密切联系。然而,一些问题也随之产生，如：部分中学数学教师淡忘了高等数学的知识，或是所学的高等数学知识与中学数学互相脱离,再或是缺乏运用高等数学知识的观点处理中学数学问题的意识，利用高等数学的视角统领全局的能力亟待提高等问题。

　　集合作为数学中最基本的概念之一,其教学内容虽编排在高中必修1,但集合思想却在小学阶段认数时就已经有所接触,在三年级上册数学广角中更是编排了集合的交集、Venn图等相关内容,并一直伴随到初中、高中直至大学.而大学数学作为中学阶段数学知识、数学方法、数学思维的延伸和拓广,是高等院校学生进一步学习后继课程的重要保障和知识储备.特别是集合在大学数学与中学数学中起到了很好的衔接作用。

　　2集合理论在中学数学中的应用

　　集合是中学阶段(高中)学习的第一个数学对象，也是大学阶段基础数学课程中的第一个数学对象，在数学中占据着及其重要的地位。虽然，在普通高中课程标准实验教课书数学1中，集合的内容较少且简单，但集合不仅是数学1中函数的定义域和值域学习的基础，也是数学5中表达不等式的解集的基础，也是数学选修2-1中圆锥曲线中正确表达椭圆、双曲线、抛物线的基础等等。集合的学习不仅可以为后续学习其它内容奠定基础,还可以借助集合的理论知识解决数学问题。

　　在二十世纪初,我国尚在使用子、丑、寅、卯和甲、乙、丙、丁等中国自己的符号语言。1911年(辛亥革命)后，数学符号就与国际通用的一致，五四运动以后，白话文的使用,使得我国的数学语言与国际上的基本一致。二十世纪数学发展的一个重要标志就是康托集合语言的普遍采用，在我国的统编教材可以发现,同样也采用了集合语言。集合语言是日常语言的浓缩,是简单逻辑关系的符号表示。在中学数学课程中,一般从“数”与“形”两个角度描述数学对象，用集合语言描述具有“数集”意义的数学对象有:函数的定义域和值域、方程(组)、不等式(组)的解集的解集等;用集合语言描述具有“图形”意义的数学对象有:点的轨迹、圆、椭圆、双曲线、抛物线、可行域等等。

　　3集合思想在中学数学中的渗透

　　通过对集合理论在中学数学中的应用的研究发现，中学数学所研究的对象在某种程度上都可以归结为集合，而集合思想也贯穿了整个中学数学内容，可以说集合思想在中学数学思想占据着举足轻重的地位。特别是，数系的扩充是集合思想在中学数学中的典型体现。

　　关于集合的研究必定离不开对数的研究。对于学习过数学的人，或多或少的都会以为对数是了解的。但若深究一下，许多问题又变得模糊。例如;为什么1+2=3?数的加法、乘法是怎样规定的?数系是怎样扩充的?等问题。这些问题对于一般的人来说，似乎无足轻重，但对于中学数学教师来说，却至关重要，是一定要弄明白的。要研究数的系统，则要从认识自然数开始。自然数是人类发明使用最早的数，自人类有文化开始，自然数便被创造出，并与人类生活息息相关。人们甚至还对自然数进行运算，使用一些不加证明的算律。但到十八世纪，人们一直把自然数当做最基本的概念在使用，并没有人认识到自然数该如何定义。直到1889年，在数学公理化思想的影响下，意大利数学家和哲学家皮亚诺(G.Peano,1858-1932)第一个在理论上提出了自然数公理系统。他虽然把自然数作为不加定义的概念,但他为自然数设立了一套公理。即把“自然数集”和“0”作为两个不加定义的原始概念以及五条公理来定义自然数系统。

　　自然数系是代数学的基础.它是构造整数系、有理数系和实数系的起点。在中小学的数学中，数系的学习可以说是贯穿始终。从小学一年级学习正整数开始，到高中学习复数，数系的学习始终贯穿在整个数学课程中。由于数系中所包含的知识大多是超经验的或难以证明的，以及学生接受能力的限制。因此，在中小学的数系教学中，对数系的扩展不能全盘形式化、公理化的处理.故而不可避免“不严谨”、“模糊”的现象发生，但数系的扩张的学习是学生思维能力得到提升的一个重要内容。例如：自然数的无限性，分数是一对整数之比的形式,正负数相加的本质是“抵消”,无理数、复数的存在性等等，都是人类智慧的成果。虽然在中小学教学中，部分学生很难厘清之间的来龙去脉及缘由，但可以强调它的文化意义及价值所在,特别是对于一些的优秀的学生,适当的强调和渗透是极有必要的，以便提高学生的理性思维能力。

　　数学思想是数学地分析问题和处理问题的方法论,它是数学学科的“灵魂”,是数学学科建立和发展的重要因素.而高等数学中的集合蕴藏了丰富的数学思想，如:并集思想、交集思想、补集思想等.在中学数学教学中,若能灵活的将集合思想融入,学生不仅可以学会数学地看待问题,还能理性地处理问题。

　　4对新课程改革的个人认知

　　新课程改革后，中学数学教材内容的更新,使得高等数学与中学数学有了更紧密的联系。开展高等数学视角下的中学数学研究,并不是要求中学数学教师要教学生用高等数学的知识或方法去思考、解决中学数学问题，而是倡导教师，很有必要掌握用高等数学的知识和方法研究中学数学教材和问题，领会高等数学中所蕴含的思想。这样做，对中学数学的内容得到更全面的、更系统的认识。

　　就集合而言，在中学数学课程标准中，虽然对基数、幂集、代数体系、数系的扩张等内容没有作要求,但在中学数学教材中会涉及到此类内容。在数学教学过程中，不仅要传授给学生教材中的基本知识，更要将知识中蕴含的思想方法传授给学生。以本研究为例，集合的发展史、数系的扩充、集合理论的应用，对提高学生的学习兴趣，数学思维的培养都有极大的帮助。最后，教师要积极主动的探索中学数学知识与高等数学知识间的理论联系。这才会对中学数学的教学内容、教学设计和教学实施更有把握。因此，提倡中学数学教师要以知识重构为切入点,重温高等数学等数学专业知识。常学、常用，以理论支撑实际，用实践完善理论。

　　数学老师评职知识：数学论文怎么投稿和发表

　　5总结

　　高等数学中的集合内容是中学数学中集合内容的延伸和拓展，也是中学数学阶段到大学数学阶段的桥梁。在中学集合的教学中，不能只围绕集合的基本概念和基本运算，由集合衍生出来的概念、集合语言和集合理论的应用也同样影响着学生对集合的学习。教师在注重基本概念教学的同时更要注意学生对集合思想的领悟，以培养学生的数学思维,提高学生的应用能力。

　　参考文献

　　[1]菲利克斯·克莱因著,舒湘芹译.高观点下的初等数学[M].上海:复旦大学出版社,2017,7.

　　[2]郭云丽.“高观点”下的中学数学问题分析及教学探索[D].华东师范大学,2010,6.

　　[3]王秀桦.涉及高观点的中学数学问题解决研究[D].福建师范大学,2008,4.

　　[4]胡炳生,吴俊.现代数学观点下的中学数学[M].北京:高等数学出版设,2005,11.

　　[5]王仁发.高观点下的中学数学---代数学[M].北京:高等教育出版社,2006,4.

　　作者：秦建勇