引入价格窗的定制公交线路优化研究

　　摘要：基于公共交通的公益性，综合考虑乘客与公交企业之间的权衡关系，以保证企业运营成本与服务更多乘客为目标，在浮动票价机制的框架下研究定制公交的线路优化问题。首先，引入价格窗概念，以描述乘客出行过程中的支付意愿，并定义基于时空窗与价格窗的出行需求特征;提出超额均摊的票价支付假设规则，以在保证出行的基础上支付最少费用。其次，构建引入价格窗的整数线性规划模型，以乘客出行的时空窗和价格窗为输入，以企业运营成本最小化和服务乘客数最大化为目标，通过运营盈利约束来保证企业的运营成本，联合优化乘客-车辆匹配和车辆路径两个子问题。最后，采用 GAMS 软件进行建模和求解，在 Sioux Falls 网络开展算例分析。结果表明：引入浮动票价机制可以服务更多的乘客，进而增加企业的运营收入，且在价格窗上界一定的增幅内，所服务乘客数和企业的运营收入随价格窗上界增幅的扩大而增加。

　　关键词：城市交通;定制公交;浮动票价机制;线路优化;价格窗;GAMS

　　0 引言

　　大力发展公共交通是我国城市交通领域的重要发展战略。为解决乘客出行需求多样化与公共交通服务单一化间的矛盾，重点发展多元化公共交通已成为城市交通发展的必然趋势。传统公共交通(固定运营线路、时间和票价)为体现其公益性和公平性，一般采用低票价机制;因此受其成本限制，很难为出行地点偏僻或出行时间特殊的乘客提供公交服务。定制公交是为有类似出发地、目的地、出行时间和服务水平的乘客提供一人一座、门到门的定制化快捷公交服务[1];其票价通常高于传统公交票价，但低于自驾车和出租车的出行费用;可以有效解决传统公交线网未覆盖区域、运营时间外等特殊乘客的公交出行问题;在服务对象上与传统公共交通形成鲜明的互补关系，是多元化公共交通的重要组成部分。

　　定制公交的运营模式最早起源于国外共享出行的理念。Kirby 等(1974)通过对定制公交案例分析，得出定制公交有利于提高公共交通使用率[2];Shaheen 等(1998)明确了定制公交运营的基本流程[3]。国内的定制公交发展起步较晚，2013 年北京和青岛首次开通了定制公交线路[4];徐康明等(2013)探讨了定制公交服务的定义、服务要素、优势和适用性[5];Liu 等(2015)首次分析了定制公交在 30 个中国城市的发展，重点介绍了定制公交的设计运营过程[6]。在定制公交理论研究方面，张敏捷等(2014)提出以线网覆盖率最大、上座率最高、运营投入最少为目标函数，考虑线路长度和上座率约束的定制公交线路规划模型，并采用改进蚁群算法求解[7];雷永巍等(2017)构建了面向互联网定制公交，以最大需求服务率和最小费用为目标，以最大载客量和乘客时间阈值等为约束条件的动态网络调度模型，并设计了并行蚁群算法对模型进行求解[8];Tong 等(2017)建立了以不可达乘客数量最小为目标。

　　考虑容量限制和时间窗等约束条件的规划模型，并采用拉格朗日松弛算法求解[9];陶浪等(2018)建立了以乘客出行时间和车辆油耗最小为目标，考虑车辆容量限制、出行时间约束、出行费用约束的定制公交线路优化模型，并采用改进 NSGA-Ⅱ算法求解[10];申婵等(2019)构建了以乘客等车成本、乘客损失成本及车辆运行成本为目标函数，考虑流量和容量约束的定制公交线路优化模型，并采用禁忌搜索算法对问题进行求解[11];Lyu 等(2019)构建了以运营商盈利最大化为目标，考虑巴士公司总载客量约束的优化模型，并设计了启发式算法求解[12];陈汐等(2020)构建多区域运营模式的通勤定制公交线路规划模型，以最小化乘客出行成本、车辆运营成本为优化目标，并设计两阶段启发式算法求解[13];Chen 等(2021)构建了以乘客的额外旅行时间最小和运营成本最小为目标函数，考虑分配约束、时间约束、容量约束、方向约束等条件的定制公交线路设计模型[14]。

　　综上所述，目前研究主要关注于固定票价机制下的定制公交线路优化问题。然而，在实际的工程应用中，定制公交由于单一票制、服务人数、运营成本等原因造成实际载客率不足、线路延伸与覆盖率不够等“运营稳健性”问题，特别是由于载客率不足造成票款收入不能满足线路运营成本时，导致线路无法开通或停运。

　　当某个区域不能提供传统公交或定制公交服务时，居民需要支付更高的出行成本(私家车、出租车等)实现出行。为解决定制公交的“运营稳健性”问题，本文提出定制公交的浮动票价机制，即乘客为实现公交出行，基于公交基础票价(按里程计价)提出自身可接受的支付范围;公交企业基于公益性和公平性的原则，根据线路的运营成本与乘客的支付意愿，在乘客可接受的支付范围内确定其最终票价。该机制在乘客可接受的支付范围内，通过部分乘客的额外支付来维持线路的运营成本，从而保证定制公交线路的开通和“稳健运营”，实现线路整体乘客的公交出行，避免出行成本更高的非公交出行。在浮动票价机制的框架下，从公共交通公益性的角度出发，综合考虑乘客与公交企业之间的权衡关系，以保证企业运营成本与服务更多乘客为目标，研究定制公交的线路优化问题。

　　首先，引入价格窗的概念，来描述乘客出行过程中可接受的支付范围;提出超额均摊的票价支付假设规则，使乘客在保证出行的基础上支付最少费用。其次，基于时空窗与价格窗的乘客出行需求特征构建定制公交线路优化模型，以企业运营成本最小和服务乘客数最大为目标函数，通过运营盈利约束保证企业的运营成本，联合优化乘客-车辆匹配和车辆路径两个子问题。最后，采用 GAMS 软件进行建模和求解，并通过算例对模型进行了验证。1 问题描述

　　1.1 问题描述与输入输出

　　本文要解决的问题可描述为，每位乘客为实现定制公交出行，基于公交基础票价提出自身可接受的支付范围，形成一个票价可接受范围，定义为价格窗;同一辆车的乘客在自身可接受的支付范围内共同分担车辆的最低发车收入，实现更多乘客的公交出行;公交企业则根据乘客出行信息(时空窗和价格窗)进行乘客-车辆匹配和车辆路径优化，并基于票价支付假设规则计算乘客的最终支付票价，从而实现在保证企业运营成本的基础上服务更多乘客。问题预先设定公交基础票价和最低发车收入。

　　实际应用中，公交票价的制定与乘客的出行距离和出行时间相关;参考文献[15]，本文的公交基础票价的定价方式采取按里程计价，20 公里(含)以内 5 元，每增加 5 公里(含)以内增加 3 元。而最低发车收入通常与驾驶员工资、车辆油耗以及车辆损耗等相关，由企业根据企业的实际运营情况来计算确定。票价收入上界为乘客可接受支付的最大票价总和，下界为乘客公交基础票价总和。当票价收入上界超过最低发车收入时，线路发车;否则，不发车取消服务。

　　1.2 时空窗与价格窗

　　在乘客出行的规划问题中，一般会采用时间窗的概念表示乘客出行要求的时间范围，包括上车时间窗和下车时间窗。而时空窗是时间窗与空间约束相结合的一种约束，表示乘客出行要求的时间范围和地点范围，包括上车时空窗和下车时空窗 。通常情况，选择定制公交出行的潜在乘客会综合衡量收入水平、准时性、便捷性、舒适性、出行目的、出行距离、出行意愿等多种因素，根据公交基础票价产生一个最大支付意愿。价格窗就是乘客基于公交基础票价所能接受的票价支付范围，下界是公交基础票价，由企业根据乘客 OD 间的最短路径距离计算确定，上界是乘客的最大支付意愿，由乘客自己确定。也就是说，若乘客可以得到公交服务，则其最终支付票价位于价格窗之间。如公交基础票价为 5 元，乘客最大支付意愿为 10 元，其价格窗表示为[5,10]。

　　1. 3票价支付假设规则

　　首先，乘客提前支付可接受的最大票价;其次，企业根据票价支付假设规则计算得到乘客支付的最终票价;最后，将未出行的票价或超出的票价退回给乘客。在浮动票价机制下，存在同一辆车的乘客基于公交基础票价去分配额外票价支付的问题，即最终票价的计算问题，基于公交公益性、保证企业运营成本以及在保证出行的基础上支付最少费用等原则，提出超额均摊的票价支付假设规则(所有乘客在支付各自基础票价的基础上，逐层均摊需要额外支付的票价)来计算乘客的最终支付票价。

　　可以发现，若采用固定票价机制，乘客 的公交基础票价(6 元)以及乘客 、 公交基础票价的之和(6 元)均小于车辆的最低发车收入(11 元)，他们将不能被公交所服务。此时，乘客有两种选择，一是取消出行，不能实现其出行目的;二是而采取非公交出行，但其打车成本远远大于公交出行费用。而引入浮动票价机制后，乘客 虽然在公交基础票价(6元)的基础上多支付了 5 元，但实现了其出行目的，且公交出行的最终票价在自己可接受的支付范围内，远小于采取非公交出行的费用(21 元)。

　　乘客 、 通过共同承担额外的票价(5 元)实现公交出行，虽然乘客 (承担 3 元)比乘客 (承担 2 元)多承担了 1 元，但两位乘客均实现了出行目的，且他们的最终支付票价均在自己可接受的支付范围内，远小于非公交出行的费用(17 元和 14 元)。在浮动票价机制的框架下，基于超额均摊的票价支付假设规则，通过高票价乘客为低票价乘客的多支付维持线路的运营成本，从而保证定制公交线路的开通和“稳健运营”;通过乘客间“抱团取暖”的方式，实现整体乘客的公交出行，避免出行成本更高的非公交出行，使乘客在保证出行的基础上支付最少费用。

　　2 模型

　　公共交通服务涉及两个标准，即乘客可达性和公交企业的运营成本。因此，本文建立了一个整数线性规划模型，设立目标函数同时考虑企业运营成本最小和服务乘客数最大两个目标，目的是在满足最低的发车收入的条件下，避免运力浪费，尽可能服务更多的乘客并提高企业的运营收入。

　　本文是基于公交的公益性，在保证运营成本最小的基础上服务更多的乘客。服务更多的乘客通过目标函数来实现，而保证运营成本通过“运营盈利约束”来实现。可以发现当所有乘客的价格窗上界等于下界时，此时本文模型与文献[9]的模型相同。但由于乘客在票价支付意愿上的差异性，乘客价格窗会存在一定差异性，因此相较于文献[9]的模型，本文提出的模型可以放宽最优解的搜索范围，在保证企业运营成本的基础上，基于乘客的支付意愿，增加乘客可以乘坐定制公交出行的可能，从而对定制公交的运营方案、服务乘客人数、票价收入等产生影响。

　　模型基于价格窗，通过公式(5)放宽了最优解的搜索范围。模型的不同可行解，所对应的目标函数值不同，其最终票价收入也不同，从而在目标函数和最终票价收入之间建立了一个隐性对应关系。由于最终票价收入是在具体的可行方案下，基于价格窗和超额均摊票价支付规则计算得到，难以用显性公式所描述。因此，尽管目标函数中没有体现票价和票价收入，但可通过票价收入与目标函数的隐性对应关系求出最优解下的票价收入。未来的研究方向之一是将票价及票价收入引入到目标函数中。

　　3 算例分析

　　3.1 数据说明

　　本文基于文献[9]中的数据对构建的模型进行验证。该数据以 Sioux Falls 网络上 20 个乘客的通勤请求为示例，其中，该网络具有 24 个节点和 38 条无向边，边上的数字表示距离(单位为km)，假设行程时间(单位为 min)的数值与距离相等。公交座位数为 10。由于乘客上班时间一般是固定的，因此本文假设乘客最晚到达目的地的时间为第 30 或60 min，同时假设乘客可以接受提前 5 min 内到达目的地，由此得到乘客的下车时空窗，然后根据 OD 间最短路径距离计算乘客的上车时空窗。20 位乘客的最短 OD 距离均小于 20 公里，根据公交基础票价的计算公式，计算得到 20 位乘客的公交基础票价均为 5 元。同时为了突出浮动票价的特征，以及模型间的可比性，将最低发车收入设定为 30 元; 设定为 0.01;设定为 1。另外随机生成若干个服从正态分布5,5的整数，取 20 个超过均值 5 的整数依次表示 20 位乘客的最大支付意愿，得到乘客的价格窗。

　　3.2 算例求解

　　本文建立的数学模型是一个整数线性规划模型，运用通用代数建模系统(GAMS)进行建模和求解。定制公交的最大运用车辆数等于所有乘客所能支付的最大票价之和除以最低发车收入;由于虚拟公交车辆可以看作是除定制公交之外的出行方式(如出租车、私家车等)，不需要进行乘客-车辆分配，因此不管是 1 位还是 位乘客，均可以被“1 辆”虚拟公交车辆服务。

　　20 位乘客所能支付的最大票价之和为 206 元，最低发车收入为 30 元，因此对算例进行求解时，初始定制公交的运用车辆数设为 7，虚拟公交的运用车辆数设为 1。算例最终的求解时间为 1.781 s，求解速度较快。计算结果表明，仅有 2 位乘客没有通过定制公交运送，18 位乘客可以通过定制公交运送，共使用了 4 辆定制公交，其中有 4 位乘客通过车辆 1 运送，3 位乘客通过车辆 2 运送，6 位乘客通过车辆 3 运送，另外 5 位乘客通过车辆 4 运送。

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　　4 结论

　　针对定制公交固定票价机制带来的服务乘客量少和运营收入低的问题，本文引入浮动票价机制，并提出价格窗的概念和超额均摊的票价支付假设规则，构建整数线性规划模型，综合考虑企业运营成本和服务乘客数两个方面。同时采用 GAMS 求解该模型并利用算例进行了验证，并分别对价格窗和时间窗进行灵敏度分析，相应给出定制公交的未服务乘客数和运营收入，并与采用固定票价机制进行对比，结果表明：(1)在价格窗上界一定的增幅内，所服务乘客数和企业的运营收入随价格窗上界的增幅的扩大而增加;(2)在时间窗一定的宽度下，所服务乘客数和企业的运营收入随时间窗宽度的增加而增加;(3)在同样的场景下，相较于采用固定票价机制，引入浮动票价机制可以松弛乘客的出行约束，服务更多的乘客，进而提高企业的运营收入。

　　参考文献：

　　[1] WANG C, MA C X, XU X C. Multi-objective optimization of real-time customized bus routes basedon two-stage method[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2020, 537: 122774.

　　[2] KIRBY R F, BHATT K U. Guidelines on the Operation of Subscription Bus Services[R]. Nationaltechnical information service, 1974.

　　[3] SHAHEEN S A, SPERLING D, WAGNER C. Car sharing in Europe and North America: past,present and future[J]. Transportation Quarterly, 1998, 52(3): 35-52.

　　[4] 詹海林, 董景瞬. 青岛在全国首次开通“定制公交”交运集团(青岛)开通“定制公交”，真的会成为公交车史上一次革命性创新吗?[J]. 运输经理世界, 2013, (09): 20-23. [ZHAN H L,DONG J S. Qingdao transport Group (Qingdao) launched a "customized bus", will it really be arevolutionary innovation in the history of public transport?[J]. Transport Manager world, 2013, (09):20-23.]

　　[5] 徐康明, 李佳玲, 冯浚, 等. 定制公交服务初探[J]. 城市交通, 2013, 11(05): 24-27.

　　[XU K M,LI J L, FENG J, et al. Discussion on subscription bus services[J]. The urban traffic, 2013, 11(05): 24-27.]

　　作者：岳昊*，刘建业，李崇楠